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La matematica applicata al Bridge (I)

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A chi può servire un articolo sul calcolo delle probabilità nel Bridge? Trovi tutto sul libro di Borel e Chéron.

Emile Borel The Mathematical Theory of BridgeQuesta fu l’obiezione alla mia idea di scrivere il presente articolo. In effetti, chiunque voglia discutere di probabilità nel Bridge senza esporsi al rischio di fare una figuraccia deve averlo letto, chiunque abbia un dubbio basta che lo consulti: tra oltre 300 pagine e 130 tabelle troverà la risposta.

Quel libro, in effetti, è chiaro ed esauriente dal punto di vita tecnico, tanto che per oltre mezzo secolo nessuno si è sognato di scriverne uno simile: sarebbe stato un doppione inutile.

Però, a voler essere pignoli, quel libro ha tre difetti, che giustificano la scrittura di ulteriori articoli sull’argomento.

Il primo è che è un libro squisitamente matematico, che prescinde dal comportamento degli avversari.

Il secondo, più rilevante in pratica, è che spiega molto chiaramente come calcolare le tabelle, ma spesso lascia come banale esercizio l’applicazione, ossia la deduzione della linea di gioco ottimale.

Il terzo, decisamente il peggiore, è che è da tempo introvabile! La prima edizione (Émile Borel e André Chéron; Théorie Mathématique du Bridge; Gauthier-Villars) risale al 1940, la seconda al 1954 ed entrambi sono fuori commercio da decenni; la seconda si riesce a trovare come libro da collezione. Nel 1974 C.C. Wei (sì, proprio l’ideatore del Precision) sponsorizzò l’edizione di una traduzione inglese di Alec Traub (The Mathematical Theory of Bridge, Taiwan, 1974), ma ormai anche questa si trova solo presso i negozi dei collezionisti.

Naturalmente in moltissimi libri sul gioco della carta si trovano alcune delle tabelle di distribuzione più importanti, ma è difficile trovare spiegazioni su come calcolare tabelle del genere, senza ricorrere a testi di calcolo delle probabilità (che di solito sfiorano appena l’argomento, considerato elementare).

A chi interessano le tabelle?
Possiamo distinguere tre utilizzi principali:

Il primo gruppo di utenti è costituito dagli ideatori di sistemi e convenzioni, che per fare un buon lavoro dovrebbero valutare la convenienza di ogni nuovo gadget sulla base del guadagno atteso e della frequenza di utilizzo; in fondo, l’idea delle aperture in quinta nobile nasce dall’osservazione che il fit 5 – 3 è più frequente di quello 4 – 4.

Il secondo gruppo è costituito dagli esperti dell’analisi a tavolino, desiderosi di dimostrare al compagno come la loro linea di gioco, basata su una messa in presa seguita da una compressione con triplo avvitamento carpiato fosse nettamente superiore a un banale impasse e la caduta del contratto dovuta a mera sfortuna.

Il terzo, infine, è costituito dai giocatori, desiderosi di migliorare e alla ricerca costante della linea di gioco perfetta.

Questi ultimi sono quelli più nei guai: sanno (o dovrebbero sapere) che le tabelle ben note sulle probabilità di divisioni e impasse non sono praticamente mai valide al tavolo, sono solo utili approssimazioni. Non hanno però idea di come calcolare i valori esatti, ma soprattutto si rendono conto di non poter studiare le centinaia (o meglio migliaia) di tabelle che risulterebbero da uno studio accurato e sono alla ricerca di regole semplici e generali, facili da imparare (tipo: “Con nove si batte”), anche se approssimate.

Ecco, questo articolo è rivolto a costoro.

Come premessa ci serve un piccolo arsenale matematico, formato da quattro strumenti.

Il primo è costituito dai fattoriali. Si indica con n!, che si legge “n fattoriale”, il prodotto dei numeri naturali da 1 a n: Per esempio, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.
A che serve? È il numero di modi di mettere in ordine n oggetti distinti, perché posso scegliere il primo tra n, il secondo tra gli n – 1 rimasti, il terzo tra gli n – 2 residui e così via, sino all’ultimo, la cui scelta è forzata. Così, per esempio, posso mettere in fila tre oggetti, che chiamerò A, B e C, in 3! = 6 modi diversi: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

Da un punto di vista pratico, se non avete una calcolatrice capace di calcolarli direttamente, per calcolare n! con n non proprio piccolo, invece di rischiare pasticci con una lunga serie di moltiplicazioni, potete utilizzare l’ottima approssimazione:

formula di Stirling

derivata dalla formula di Stirling (1730): già per n = 6 l’errore è meno di una parte su 10000 e diminuisce all’aumentare di n.

Nella formula,
mat3

Il secondo strumento è costituito dai coefficienti binomiali. Si indica con

e si legge “coefficiente binomiale n su k” il valore:

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A che serve? Ci dice in quanti modi si possono scegliere k oggetti tra n. Per esempio, in quanti modi posso scegliere 2 lettere tra le prime 5 dell’alfabeto?

La formula ci dice:

e, infatti, le scelte possibili sono: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.
La giustificazione della formula è semplice: il numero di modi si calcola mettendo in fila, in n! modi diversi gli oggetti e prendendo i primi k. L’ordine relativo dei primi k oggetti non conta, perché non consideriamo distinte scelte come AC e CA, ossia non conta l’ordine nel quale ci arrivano le carte durante la distribuzione, e analogamente non conta l’ordine relativo dei restanti (nk) oggetti che non scegliamo, quindi il numero di modi si ottiene dividendo il numero totale di ordinamenti, che è n!, per quelli che danno luogo a scelte equivalenti, quindi per k! e (nk)!.
Per approssimazioni e altre formule e applicazioni di fattoriali e coefficienti binomiali vi sono abbondanti risorse in rete. Un buon numero di formule, approssimazioni e tabelle per fattoriali e coefficienti binomiali si trova alle voci corrispondenti nel sito www.bitman.name.

Coraggio non manca molto. Il terzo strumento è il “principio di indifferenza”, ossia il principio che se possono verificarsi n eventi equiprobabili e mutuamente esclusivi e sono per noi favorevoli m tra questi, la probabilità di successo è:

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Per esempio, se a una pesca di beneficenza ci sono 15 premi e 100 biglietti, pescando un biglietto abbiamo 15 probabilità su 100 di vincere qualcosa.
Per semplice che possa sembrare, è l’applicazione di questo principio che provoca i più clamorosi errori, di solito perché si considerano equiprobabili eventi che in realtà non lo sono.

Bene il più è fatto, restano solo un principio che in molti casi semplifica i calcoli: se delle distribuzioni possibili alcune sono eliminate, le probabilità di ciascuna vanno ricalcolate dividendo le probabilità originali per la somma delle probabilità originali delle distribuzioni rimaste; il rapporto relativo tra le probabilità di due divisioni di un seme resta però invariato se le altre divisioni vengono escluse dal gioco.
Per esempio, se erano possibili all’inizio 4 divisioni con probabilità a, b, c e d e abbiamo escluso le ultime due, le probabilità delle restanti sono aumentate a

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ma rapporto tra esse resta

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Per esempio, se a valeva all’inizio 0.3 e b valeva 0.2 e le carte apparse ci fanno escludere c e d, le probabilità per le prime due alternative divengono

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ma il loro rapporto resta invariato. Sembra un discorso complicato, ma ci semplifica i conti, perché spesso non ci interessa sapere di quanto una divisione si più probabile, ma solo quale sia la più probabile e tutto il discorso ci porta alla conclusione che la più probabile all’inizio resta la più probabile, anche se abbiamo escluso varie possibilità.

Lunedì cominceremo a vedere come usare questi attrezzi!

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Mauro Fiorentini

Mauro Fiorentini (FRR003, A.B.A./T.C.A. Milano), esperto di informatica, appassionato giocatore, ha vinto l'ultimo campionato Italiano delle regioni che fu disputato (perciò afferma d'essere campione in carica, ma pochi gli credono); è arrivato 3° in Coppa Italia e in campo internazionale non è andato oltre il 36° posto nell'Olimpiade a coppie del 1992. Questo non gli impedisce di continuare a divertirsi giocando e di applicare al Bridge la sua mai sopita passione per la matematica.
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